Чему равен ctg 2a. Основные формулы тригонометрии. Приведение к однородному уравнению



|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Синус (sin α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;
;
.

;
;
.

График функции синус, y = sin x


График функции косинус, y = cos x


Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .

Четность

Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).

y = sin x y = cos x
Область определения и непрерывность - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Область значений -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = -1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности



;
;

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

;
;
;
.

Выражение косинуса через синус

;
;
;
.

Выражение через тангенс

; .

При , имеем:
; .

При :
; .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные


;

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.

Арксинус, arcsin

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Основные формулы тригонометрии - это формулы, устанавливающие связи между основными тригонометрическими функциями. Синус, косинус, тангенс и котангенс связаны между собой множеством соотношений. Ниже приведем основные тригонометрические формулы, а для удобства сгруппируем их по назначению. С использованием данных формул можно решить практически любую задачу из стандартного курса тригонометрии. Сразу отметим, что ниже приведены лишь сами формулы, а не их вывод, которому будут посвящены отдельные статьи.

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Тригонометрические тождества

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α с t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · с t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:

Общий вид формул понижения степени

для четных n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)

для нечетных n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход - от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))

Универсальная тригонометрическая подстановка

Все основные тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и котангенс, - могут быть выражены через тангенс половинного угла.

Универсальная тригонометрическая подстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Тригонометрия, тригонометрические формулы

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье основные тригонометрические тождества.

К началу страницы

Формулы приведения



Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения.

К началу страницы

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Более подробная информация содержится в статье формулы сложения.

К началу страницы

Формулы двойного, тройного и т.д. угла


Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла.

К началу страницы

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье формулы половинного угла.

К началу страницы

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

К началу страницы

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Вывод формул, а также примеры их применения смотрите в статье формулы суммы и разности синуса и косинуса.

К началу страницы

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

К началу страницы

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Для более полной информации смотрите статью универсальная тригонометрическая подстановка.

К началу страницы

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.

Формулы сложения.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)

tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

ctg (α — β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла.

cos 2 α = cos² α — sin² α

cos 2 α = 2cos² α — 1

cos 2 α = 1 — 2sin² α

sin 2 α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)

ctg 2 α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α )

Формулы тройного угла.

sin 3α = 3sin α — 4sin³ α

cos 3 α = 4cos³ α — 3cos α

tg 3 α = (3tg α — tg³ α ) ÷ (1 — 3tg² α )

ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы половинного угла.

Формулы приведения.

Функция / угол в рад.

π/2 - α

π/2 + α

3π/2 - α

3π/2 + α

2π - α

2π + α

Функция / угол в °

90° - α

90° + α

180° - α

180° + α

270° - α

270° + α

360° - α

360° + α

Подробное описание формул приведения.

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α+cos 2 α=1

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 или sec 2 α−tan 2 α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 или csc 2 α−cot 2 α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α . Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

tanα=sinα/cosα,

где α≠π/2+πn,n∈Z.

Определение котангенса:

cotα=cosα/sinα,

где α≠πn,n∈Z.

Следствие из определений тангенса и котангенса:

tanα cotα=1,

где α≠πn/2,n∈Z.

Определение секанса:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n Z

Определение косеканса:

cscα=1/sinα,α≠πn,n Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a.

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.

ТригонометрияМатематика. Тригонометрия. Формулы. Геометрия. Теория

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t).

Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin(t), нужно:

  1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
  2. на окружности найти точку, соответствующую числу t;
  3. найти ординату этой точки.
  4. эта ордината и есть искомое sin(t).

Фактически речь идет о функции s = sin(t), где t - любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0, \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество :

\[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \]

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот.

Формулы тригонометрии

Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \]

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \]

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

\[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:\[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \]

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \]

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \]

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

Полная таблица всех основных и редких тригонометрических формул приведения.

Здесь можно найти тригонометрические формулы в удобном виде. А тригонометрические формулы приведения можно посмотреть на другой странице.

Основные тригонометрические тождества

— математические выражения для тригонометрических функций, выполняемые при каждом значении аргумента.

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
  • cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)
  • tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)
  • ctg (α — β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly — uchim.org

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α — sin² α
  • cos 2α = 2cos² α — 1
  • cos 2α = 1 — 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
  • tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 — cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α — sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 — cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α — sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α — β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α — β) — cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))

Мы перечислили довольно много тригонометрических формул, но если чего-то не хватает, пишите.

Всё для учебы » Математика в школе » Тригонометрические формулы — шпаргалка

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Вся база рефератов, курсовых, дипломных работ и прочих учебных материалов предоставляется бесплатно. Используя материалы сайта Вы подтверждаете, что ознакомились с пользовательским соглашением и согласны со всеми его пунктами в полной мере.

дробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. В третьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения, решения которых основано на функциональном подходе.

Все формулы (уравнения) тригонометрии: sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

В четвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и …

… угол 1800-α= по гипотенузе и острому углу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности. Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного …

… Домашнее задание 19(3,6), 20(2,4) Постановка цели Актуализация опорных знаний Свойства тригонометрических функций Формулы приведения Новый материал Значения тригонометрических функций Решение простейших тригонометрических уравнений Закрепление Решение задач Цель урока: сегодня мы будем вычислять значения тригонометрических функций и решать …

… сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи: 1. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике; 2. Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений; 3. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для решения …

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

Представляем вашему вниманию различные формулы, связанные с тригонометрией.

(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)
(9) Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Косинус тройного угла cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Тангенс суммы/разности (14) Котангенс суммы/разности (15) Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Разность косинусов cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Сумма/разность тангенсов (22) Формула понижения степени синуса sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Формула понижения степени косинуса cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Сумма/разность синуса и косинуса (25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26) Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы общего вида

— версия для печати

Определения Синус угла α (обозн. sin(α) ) — отношение противолежащего от угла α катета к гипотенузе. Косинус угла α (обозн. cos(α) ) — отношение прилежащего к углу α катета к гипотенузе. Тангенс угла α (обозн. tg(α) ) — отношение противолежащего к углу α катета к прилежащему. Эквивалентное определение — отношение синуса угла α к косинусу того же угла — sin(α)/cos(α). Котангенс угла α (обозн. ctg(α) ) — отношение прилежащего к углу α катета к противолежащему. Эквивалентное определение — отношение косинуса угла α к синусу того же угла — cos(α)/sin(α). Другие тригонометрические функции : секанс — sec(α) = 1/cos(α); косеканс — cosec(α) = 1/sin(α). Примечание Мы специально не пишем знак * (умножить), — там, где две функции записаны подряд, без пробела, он подразумевается. Подсказка Для вывода формул косинуса, синуса, тангенса или котангенса кратных (4+) углов, достаточно расписать их по формулам соотв. косинуса, синуса, тангенса или котангенса суммы, либо сводить к предыдущим случаям, сводя до формул тройных и двойных углов. Дополнение Таблица производных

© Школяр . Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

На этой странице вы найдете все основные тригонометрические формулы, которые помогут вам решать многие упражнения, значительно упростив само выражение.

Тригонометрические формулы - математические равенства для тригонометрических функций, которые выполняются при всех допустимых значениях аргумента.

Формулами задаются соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Синус угла – это координата y точки (ордината) на единичной окружности. Косинус угла – это координата x точки (абсцисса).

Тангенс и котангенс – это, соответственно, соотношения синуса к косинусу и наоборот.
`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha`
`tg \ \alpha=\frac{sin\ \alpha}{cos \ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac{cos\ \alpha}{sin\ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

И две, которые используются реже – секанс, косеканс. Они обозначают соотношения 1 к косинусу и синусу.

`sec \ \alpha=\frac{1}{cos\ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac{1}{sin \ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Из определений тригонометрических функций видно, какие знаки они имеют в каждой четверти. Знак функции зависит только от того, в какой из четвертей располагается аргумент.

При изменении знака аргумента с «+» на «-» только функция косинус не меняет своего значения. Она называется четной. Ее график симметричен относительно оси ординат.

Остальные функции (синус, тангенс, котангенс) нечетные. При смене знака аргумента с «+» на «-» их значение также изменяется на отрицательное. Их графики симметричны относительно начала координат.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества – это формулы, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями одного угла (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) и которые позволяют находить значение каждой из этих функций через любую известную другую.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac{\pi n} 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1{cos^2 \alpha}=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1{sin^2 \alpha}=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций

Формулы сложения и вычитания аргументов выражают тригонометрические функции суммы или разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac{tg \ \alpha+tg \ \beta}{1-tg \ \alpha\ tg \ \beta}`
`tg(\alpha-\beta)=\frac{tg \ \alpha-tg \ \beta}{1+tg \ \alpha \ tg \ \beta}`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac{ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1}{ctg \ \beta+ctg \ \alpha}`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac{ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1}{ctg \ \beta-ctg \ \alpha}`

Формулы двойного угла

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}=` `\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Формулы тройного угла

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`

Формулы половинного угла

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Формулы половинных, двойных и тройных аргументов выражают функции `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` этих аргументов (`\frac{\alpha}2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) через эти ж функции аргумента `\alpha`.

Вывод их можно получить из предыдущей группы (сложения и вычитания аргументов). Например, тождества двойного угла легко получить, заменив `\beta` на `\alpha`.

Формулы понижения степени

Формулы квадратов (кубов и т. д.) тригонометрических функций позволяют перейти от 2,3,… степени к тригонометрическим функциям первой степени, но кратных углов (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).
`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \ \alpha}2)`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \ \alpha}2)`
`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`
`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы являют собой преобразования суммы и разности тригонометрических функций разных аргументов в произведение.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\beta-\alpha}2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta}`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac{sin(\beta \pm \alpha)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ sin \ \beta}`

Здесь происходит преобразование сложения и вычитаний функций одного аргумента в произведение.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt{2} \ sin (\frac{\pi}4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \ cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ ctg \2\alpha`

Следующие формулы преобразовывают сумму и разность единицы и тригонометрической функции в произведение.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac{\alpha}2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac{\alpha}2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac{sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \frac{\pi}4 \ cos \ \alpha}=` `\frac{\sqrt{2} sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \ \alpha}`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta};` ` \ ctg \ \alpha \ ctg \ \beta \pm 1=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`

Формулы преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций с аргументами `\alpha` и `\beta` в сумму (разность) этих аргументов.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{tg \ \alpha + tg \ \beta}{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}{tg \ \alpha + tg \ \beta}`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}`

Универсальная тригонометрическая подстановка

Эти формулы выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.
`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac{1 — tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Формулы приведения

Формулы приведения можно получить, используя такие свойства тригонометрических функций, как периодичность, симметричность, свойство сдвига на данный угол. Они позволяют функции произвольного угла преобразовать в функции, угол которых находится в пределе между 0 и 90 градусами.

Для угла (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для угла (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Выражение одних тригонометрических функций через другие

`sin \ \alpha=\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}=` `\frac{tg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac 1{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}=` `\frac 1{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac {ctg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`tg \ \alpha=\frac {sin \ \alpha}{\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}=` `\frac {\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}{cos \ \alpha}=\frac 1{ctg \ \alpha}`
`ctg \ \alpha=\frac {\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}{sin \ \alpha}=` `\frac {cos \ \alpha}{\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}=\frac 1{tg \ \alpha}`

Тригонометрия в буквальном смысле переводится, как «измерение треугольников». Она начинает изучаться еще в школе, и продолжается более детально в ВУЗах. Поэтому основные формулы по тригонометрии нужны, начиная еще с 10 класса, а также для сдачи ЕГЭ. Они обозначают связи между функциями, а поскольку этих связей много, то и самых формул есть немало. Запомнить их все нелегко, да и не надо – при необходимости их все можно вывести.

Тригонометрические формулы применяются в интегральном исчислении, а также при тригонометрических упрощениях, вычислениях, преобразованиях.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α - β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формулы суммы и разности для косинусов

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α - β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму - формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Вывод формулы разности косинусов

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 · sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · - 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter